Интересно, сколько минут тело будет свободно падать и с какой скоростью? Может ли человек выдержать такие перегрузки?
Любопытная задачка для приближенного расчета в уме и без поиска справочных данных
. Попробуем в качестве развлечения себя и общества, с минимальным пояснением "опорных точек" применительно к понятиям успешно окончивших среднюю школу
. Выделение жирным шрифтом - для тех, кому интересен только результат (а не процедура расчета
).
Свободное падение с высоты 36,5 км без учета сопротивления воздуха было бы равноускоренным,
продолжалось бы 85 секунд и была бы достигнута скорость 850 м/с (это, и все остальное, считал в уме и кое-где слегка округлял, так что мог ошибиться в арифметике на несколько% :confused2
.
Однако установившаяся скорость падения человека (скорость, при которой сила тяжести уравновешивается сопротивлением воздуха)
на малой высоте (при нормальных атмосферном давлении и температуре)
на порядок меньше указанной выше. Точная величина установившейся скорости зависит от веса и, особенно, от подробностей обтекания, т.е., от позы, пропорций тела, конструкции скафандра и т.п.
Если не лезть в дебри, то для грубой оценки можно считать, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и, для умеренно обтекаемого тела, при скорости звука равно произведению атмосферного давления на поперечное сечение тела.
Для падения человека головой вниз (см. первый пост темы)
такая грубая оценка дает М=0,3, т.е., примерно 100 м/с, и такая скорость в основном достигается за время порядка 100 м/с : 10 м/с2 = 10 с. Эта оценка скорости неплохо соответствует общеизвестной установившейся скорости при затяжных прыжках с парашютом - около 50 м/с в позе с наибольшим сопротивлением воздуха (тело падает плашмя, руки и ноги раскинуты).
А вот на высоте 36 км, где давление в сотни раз ниже,
величина установившейся скорости (см. ниже)
даже превышает указанную выше конечную скорость свободного падения без учета сопротивления воздуха и, следовательно, эта установившаяся скорость заведомо не достигается. При комнатной температуре атмосферное давление должно экспоненциально уменьшаться в "е" раз на 8 км (на 1% на каждые 80 м высоты). Здесь "опорные точки" - нормальное давление 10 м водяного столба, плотность воды чуть меньше 1000 кг/м3 и плотность воздуха примерно 1,25 кг/м3 (из памяти). Однако на высотах от "самолетной" (порядка 8...10 км) и до многих десятков км температура понижена примерно до -60 град, и плотность воздуха при том же давлении возрастает примерно на 1/3. Соответственно, на этих высотах плотность и давление воздуха снижаются с высотой быстрее - в "е" раз на каждые 6 км.
В итоге давление
на высоте 36 км должно быть примерно в 300 раз ниже атмосферного, и
установившаяся скорость падения головой вперед должна быть около М=5, т.е., 1400 м/с (скорость звука пропорциональна корню из абсолютной температуры и на высоте снижается примерно до 280 м/с). Эта
установившаяся скорость должна экспоненциально уменьшаться при снижении в "е" раз на каждые 6кмх2=12 км и
сравняется со скоростью звука на высоте около 17 км.
Соотношение этих трех значений скорости (850, 100 и 1400 м/с) означает, что
падение должно происходить следующим образом.
1) Сначала происходит почти свободное падение - со скоростью, значительно меньшей установившейся для текущей высоты.
2) По мере падения, скорость падения растет и высота уменьшается, при этом растет давление и уменьшается значение установившейся скорости. В какой-то момент скорость свободного падения сравнивается с установившейся для данной высоты.
3) С этого момента падение происходит с уменьшающейся скоростью, все время немного превышающей установившуюся скорость падения для текущей высоты.
Строгое решение этой задачи - численное интегрирование существенно нелинейного дифференциального уравнения. Однако
удовлетворительная оценка может быть сделана даже без бумажки, пошаговыми вычислениями.
Момент перехода от почти свободного падения к торможению можно грубо оценить численным расчетом с "пристрелкой".
1) За 40 секунд свободно падающее тело пролетело бы 8 км, достигнув М=1,41. А на высоте 36-8=28 км установившаяся скорость снижается примерно до М=2,8.
2) За 56 секунд свободно падающее тело пролетело бы 16 км, достигнув М=2. А на высоте 36-16=20 км установившаяся скорость снижается примерно до М=1,4. Понятно, что в этой грубой модели скорость свободного падения сравняется с установившейся скоростью примерно посередине между 40й и 56й секундами - это "вилка" по артиллерийской терминологии.
3) Выстрел в середину "вилки". За 48 секунд свободно падающее тело пролетело бы 11,5 км, достигнув М=1,7. А на высоте 36-11,5=24,5 км установившаяся скорость снижается примерно до М=2.
4) Теперь ясно, что
в этой грубой модели скорость свободного падения и установившаяся скорость сравняются примерно при М=1,8...1,9 (примерно
520 м/с - это максимальная скорость в таком падении), и это произойдет
через 50...52 с,
на высоте около 23 км. Дальше - только торможение до 100 м/с, с обратным переходом через звуковой барьер.
На самом деле уже на высоте около 30 км сопротивление воздуха становится заметным. При учете нарастающего сопротивления воздуха перед достижением максимальной скорости (сглаживание излома графика скорости)
максимальная скорость заметно уменьшится, время ее достижения значительно увеличится, а высота ее достижения немного уменьшится. Оценить эти поправки простыми средствами невозможно, но
я нутром чую, что "правильная" максимальная скорость - в пределах 400...440 м/с (М=1,5), время ее достижения - более 60 с, а высота - около 20 км.
Последующее падение с торможением происходит с высоты около 20 км со "среднеарифметической" скоростью 260 м/с и продолжается не менее 80 секунд (
полное время падения - порядка 150 секунд), при этом среднее торможение - порядка 4 м/с2 и
средняя перегрузка - около -1,4 g. Это вроде было бы безопасно (хотя отрицательная перегрузка - это всегда плохо, поскольку прилив крови к голове
),
но это "средняя температура по больнице". Пиковая перегрузка (по моим оценкам, которые здесь неуместны) - порядка -(2,5...3)g, а это уже серьезно (ибо к голове!).
ИМХО, в таком прыжке есть 3 серьезные проблемы.
1) Торможение не является постоянным и, следовательно,
пиковое значение перегрузки значительно больше среднего - а при падении головой вперед это прилив крови к голове . Кроме того, при обратном переходе через звуковой барьер торможение может кратковременно быть еще существенно сильнее.
2) При больших и переменных аэродинамических нагрузках есть
риск нарушения оптимальной позы, с катастрофическими последствиями .
3) Аэродинамическое
торможение должно сопровождаться значительным выделением тепла. Это тепло в основном "сдувается", но и телу что-то достанется. В конце концов, скорость современных военных самолетов ограничена, в т.ч., проблемой аэродинамического нагрева (т.н. "тепловой барьер").
ЗЫ. Первоначально посчитал все для прыжка с 30 км, потом перечитал первый пост темы и спохватился, что планируется прыжок с 36 км - пришлось все пересчитывать
.
ЗЗЫ.
Я уверен, что на самом деле в таких прыжках применяются какие-то средства торможения (щитки на костюме, тормозные и/или стабилизирующие парашютики...),
и реальные скорости хотя бы в 1,5 раза меньше (скорее всего, максимальные дозвуковые), а времена - во столько же раз больше, чем приведенные в моем расчете. Но все равно это страшно...
ЗЗЗЫ. Поправка в связи с крайним прыжком Бесстрашного Феликса - см.
http://aviaforum.ru/showthread.php?p=1141528#post1141528 (30.07.12) :confused2:.
